Mestre Panda

Dificuldade: por definir

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O departamento comercial de uma empresa está a criar um logotipo para uma campanha publicitária.

Uma das componentes deste logotipo é um quadrado dividido em duas regiões, uma das quais sombreada, como se ilustra na Figura 5.

O desenhador que construiu este logotipo começou por elaborar o esquema que se reproduz na Figura 6.

Nesta figura, está representada, em referencial ortogonal e monométrico, $Oxy$, parte do gráfico da função $f$, definida por$$f(x) = \frac{5}{x} + 5, \quad \text{com } x > 0$$

Seja $P$ um ponto de abcissa $x$ que se desloca ao longo do gráfico de $f$.

Para cada posição do ponto $P$, considere:

o ponto $M$, pertencente ao eixo $Ox$, de abcissa igual à do ponto $P$;
o ponto $N$, pertencente ao eixo $Ox$, de abcissa superior à do ponto $P$, tal que $\overline{PM} = \overline{MN}$;
o quadrado de diagonal $[PN]$.

A região do quadrado compreendida entre o eixo $Ox$ e o gráfico da função $f$ está representada a sombreado.

Questão:

À medida que a abcissa $x$ do ponto $P$ aumenta, a área da região sombreada na Figura 6 tende para 25.

Considere a função $R$ que dá, para cada valor de $x$, a razão entre a área representada a sombreado na Figura 6 e a área do quadrado de diagonal $[PN]$.

O gráfico da função $R$ tem uma assíntota horizontal de equação $y = 1$, como se ilustra na Figura 7.

Qual é o valor para o qual tende a área da região não sombreada do quadrado de diagonal $[PN]$, à medida que a abcissa do ponto $P$ vai aumentando?

Justifique a sua resposta.

Fonte: Exame Matemática B - 2018, Época Especial - Grupo 4 Exercício 2

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