Mestre Panda

Dificuldade: por definir

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O António, quando se desloca ao mercado municipal de Matosinhos para vender os seus produtos agrícolas, utiliza a ponte móvel entre Leça da Palmeira e Matosinhos, no porto de Leixões. A Figura 1 é uma fotografia dessa ponte.

A ponte tem dois tabuleiros, geometricamente iguais, com apoios nas margens do rio Leça, que se movem, permitindo a passagem de barcos.

A Figura 2, que não está à escala, esquematiza a situação.

Considere o tabuleiro móvel situado na margem norte, representado por [RP] na Figura 3.

Nesta figura, que não está à escala:

o ponto $\Omega$ situa-se na estrada de acesso à ponte, na margem norte;
o ponto $O$ é o ponto que pertence à estrada e ao tabuleiro móvel, e representa um dos apoios; os pontos $P$ e $R$ acompanham o movimento do tabuleiro, enquanto o ponto $\Omega$ se mantém fixo.

Seja $\alpha$ a amplitude, em graus, do ângulo $QOP$.

Admita que, para cada valor de $\alpha$, a altura, $h$, em metros, do ponto $P$ em relação ao nível da superfície da água, considerando o nível médio do mar, é dada por $$h(\alpha) = 46 \text{ sen}(\alpha) + 10,7 \quad \text{com } 90^\circ \leq \alpha \leq 180^\circ$$ O argumento da função seno está em graus.

Questão:

O vão desta ponte é a distância entre os dois apoios, representada por $v$ no esquema da Figura 4, que não está à escala.

Determine o vão da ponte.

Fonte: Exame Matemática B - 2021, 1ª Fase - Grupo 4 Exercício 4.2

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