Mestre Panda

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No verão passado, o João esteve a observar os pássaros que voavam perto da casa do avô.

Notou que, num voo planado, se um pássaro mantivesse as asas na horizontal, executava uma trajetória linear e horizontal; porém, quando inclinava as asas relativamente à horizontal e mantinha essa inclinação, descrevia um arco de circunferência num plano paralelo à horizontal.

O João investigou a situação e concluiu que o raio, $r$, em metros, da circunferência correspondente ao arco descrito pelo pássaro está relacionado com a amplitude, $\theta$, em graus, do ângulo de inclinação das asas relativamente à horizontal, de acordo com a relação $$\text{tg}(\theta) = \frac{6}{r}, \text{ com } 0^\circ < \theta < 90^\circ$$ A situação está representada nos esquemas da Figura 1.

Questão:

Um dos pássaros, ao descrever um voo planado, inclinou as asas relativamente à horizontal segundo um ângulo de amplitude $\theta = 45^\circ$ e descreveu um arco de circunferência de $30^\circ$ de amplitude.

Na Figura 2, está representado o arco descrito pelo pássaro. Este arco tem centro no ponto $O$ e tem extremos nos pontos $A$ e $B$.

Determine o comprimento do arco descrito pelo pássaro.

Apresente o resultado, em metros, arredondado às centésimas. Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, pelo menos, três casas decimais.

Fonte: Exame Matemática B - 2019, 2ª Fase - Grupo 3 Exercício 3.2

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