Mestre Panda

Dificuldade: díficil

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O mecanismo de manivela-biela é composto por uma manivela de comprimento fixo, que efetua um movimento de rotação (sempre no mesmo sentido), e por uma biela, também de comprimento fixo, que transforma esse movimento de rotação no movimento alternado de translação de um pistão.

Na Figura 3, está representado esse mecanismo.

Na Figura 4, está representado um esquema do mecanismo descrito.

Relativamente a esta figura, sabe-se que:

o ponto $P$ representa o pistão;
o segmento de reta $[OM]$ representa a manivela, que tem 1 cm de comprimento;
o segmento de reta $[MP]$ representa a biela;
os pontos $A$ e $B$ são os pontos em que a distância do pistão ao centro de rotação da manivela, $O$, é mínima e máxima, respetivamente;
os pontos $O, A, P$ e $B$ são colineares.

Sabe-se que o movimento de rotação da manivela se inicia quando o pistão se encontra na posição $B$ e que a manivela descreve voltas completas a uma frequência angular constante.

Admita que a função que dá, em centímetros, a distância do pistão ao ponto $O$, em função do tempo, $t$, em segundos, contado a partir do instante em que é iniciado o movimento, é dada por $$ d(t) = \cos t + \sqrt{9 - \text{sen}^2 t}, \quad t \geq 0 $$

(o argumento das funções seno e cosseno está expresso em radianos)

Questão:

Durante os primeiros cinco segundos, após o início do movimento, registou-se, num certo instante to, a distância do pistão ao ponto $O$

Sabe-se que, dois segundos após esse instante, a distância do pistão ao ponto $O$ diminuiu 25%.

Determine, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, a distância, em centímetros, arredondada às décimas, do pistão ao ponto $O$ no instante $t_0$, sabendo-se que este valor existe e é único.

Não justifique a validade do resultado obtido na calculadora.

Na sua resposta:

apresente uma equação que lhe permita resolver o problema;
reproduza, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) visualizado(s) na calculadora que lhe permite(m) resolver a equação e apresente as coordenadas do(s) ponto(s) relevante(s) arredondadas às centésimas;
apresente o valor pedido em centímetros, arredondado às décimas.

Se, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, duas casas decimais.

Fonte: Exame Matemática - 2020, 1ª Fase - Grupo 7 Exercício 7.2

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