Mestre Panda

Dificuldade: díficil

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Na Figura 3, está representado, num referencial o.n. $Oxyz$, um cilindro de revolução de altura $3$

Sabe-se que:

o ponto $A$ tem coordenadas $(1,2,0)$ e é o centro da base inferior do cilindro, a qual está contida no plano $xOy$
o ponto $B$ tem coordenadas $(1,3,0)$ e pertence à circunferência que delimita a base inferior do cilindro;
o ponto $C$ é o centro da base superior do cilindro.

Na Figura 4, está representada, num referencial o.n. $xOy$, a circunferência de centro na origem e raio $1$.

Sabe-se que:

o ponto $A$ está no segundo quadrante e pertence à circunferência;
o ponto $D$ tem coordenadas $(1,0)$;
o ponto $C$ pertence ao primeiro quadrante e tem abcissa igual à do ponto $D$;
o ponto $B$ pertence ao eixo $Oy$ e é tal que o segmento de reta $[AB]$ é paralelo ao eixo $Ox$;
os ângulos $AOC$ e $COD$ são geometricamente iguais e cada um deles tem amplitude $\alpha \ \big(\alpha \in \left]\tfrac{\pi}{4}, \tfrac{\pi}{2}\right[\big)$.

Mostre que a área do triângulo $[ABC]$, representado a sombreado, é dada por
$$ \frac{\operatorname{tg}\alpha \,\cos^{2}(2\alpha)}{2}. $$

Fonte: Exame Matemática - 2017, Época Especial - Grupo 5 Exercício 6

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