Mestre Panda

Dificuldade: por definir

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O penúltimo rei de Portugal, D. Carlos I, era um apaixonado pela oceanografia e por barcos. Com grande talento para a pintura, deixou várias aguarelas ligadas ao mar.

A Figura 4 é uma fotografia de uma dessas aguarelas.

A partir das velas do barco da Figura 4, um desenhador está a estudar um logotipo composto por dois triângulos, que representou a sombreado, em referencial ortogonal e monométrico, $Oxy$, tal como mostra a Figura 5.

Nesta figura:

a circunferência tem centro no ponto $O$;
os pontos $A(1, 0)$ e $D(-1,0)$ pertencem à circunferência;
o ponto $M$ é o ponto médio do segmento de reta $[OA]$;
a reta $r$ é tangente à circunferência no ponto $A$;
os pontos $B$ e $C$ deslocam-se na reta $r$, de tal forma que $[MB]$ é sempre paralelo a $[OC]$.

Para cada posição do ponto $C$, seja $\alpha$ a amplitude, em graus, do ângulo $AOC$, com $40^\circ \leq \alpha \leq 70^\circ$.

A unidade de medida de comprimento é o metro.

Questão:

Determine o menor e o maior dos valores inteiros de $\alpha$ para os quais a soma, $T$, das áreas dos triângulos $[DOC]$ e $[MAB]$ é superior a $1 \text{ m}^2$.

Note que a soma, $T$, das áreas dos triângulos $[DOC]$ e $[MAB]$, em metros quadrados, é dada, em função de $\alpha$, por $T(\alpha) = \frac{5 \operatorname{tg}(\alpha)}{8}$.

Fonte: Exame Matemática B - 2021, 2ª Fase - Grupo 6 Exercício 6.2

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