Mestre Panda

Dificuldade: díficil

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Sejam $f$ e $g$ funções duas vezes diferenciáveis, de domínios $\mathbb{R}$ e $]0, +\infty[$, respetivamente, e seja $r$ a reta de equação $y = 2x - 1$.

Sabe-se que:

a reta $r$ é tangente ao gráfico de $g$ no ponto de abcissa 1;
$\lim_{x \to +\infty} (f(x) - 2x + 1) = 0$;
nos respetivos domínios, o gráfico de $f$ tem concavidade voltada para cima e o gráfico de $g$ tem concavidade voltada para baixo.

Considere as proposições seguintes.

I. O gráfico da função $f$ admite uma assíntota horizontal quando $x$ tende para $+ \infty$.

II. $\lim_{x \to 1} g(x) = 2$;

III. $f''(x) < g''(x)$, $\forall x \in ]0, + \infty[$.

Justifique que as proposições I, II e III são falsas. Na sua resposta, apresente, para cada uma das proposições, uma razão que justifique a sua falsidade.

Fonte: Exame Matemática - 2023, 1ª Fase - Grupo Exercício 9

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