Imagem do exercício
Recriando uma das famosas experiências realizadas por Galileu, estudou-se o movimento de translação de uma esfera largada sobre um plano inclinado.
Considere que a esfera pode ser representada pelo seu centro de massa (modelo da partícula material).
Admita que, em cada ensaio realizado, o módulo da velocidade da esfera aumentou proporcionalmente com o tempo decorrido e que a resultante das forças de atrito que atuaram na esfera não foi desprezável.
Os tempos de descida da esfera sobre o plano inclinado foram medidos indiretamente a partir dos volumes de água vertidos por uma bureta. Assim, em cada ensaio realizado, abriu-se a torneira da bureta no instante em que a esfera foi largada sobre o plano inclinado e fechou-se a torneira da bureta no instante em que a esfera atingiu a base do plano.
Considere que, nos ensaios realizados, a bureta vertia, aproximadamente, $1,6 \mathrm{~cm^3}$ de água em cada segundo.
A massa volúmica da água, nas condições em que foram realizados esses ensaios, é $1,0 \mathrm{~g ~cm}^{-3}$.
Na tabela seguinte, estão registadas as distâncias, $d$, percorridas pela esfera, largada de diferentes posições sobre o plano inclinado, e os volumes, $V$, de água vertidos até a esfera atingir a base do plano.
Determine o módulo da aceleração da esfera, em $\mathrm{m~} \mathrm{s}^{-2}$, a partir da equação da reta de ajuste a um gráfico adequado.
Na resposta:
- apresente uma tabela com os valores a utilizar na construção do gráfico, identificando as variáveis consideradas;
- apresente a equação da reta de ajuste a esse gráfico;
- calcule o valor solicitado.
Explicite o seu raciocínio, indicando todos os cálculos efetuados.
Fonte: IAVE
Fonte: IAVE
- Determinação da equação apropriada à tabela:
$$x=x_{0}+v_{0} t+\frac{1}{2} a t^{2} \Leftrightarrow x=0+0 t+\frac{1}{2} a t^{2}=\frac{1}{2} a t^{2}$$
Assim, conclui-se que
$x=\frac{1}{2} a t^{2}$
Substituindo as incógnitas da expressão pelas incógnitas da tabela,
$d=\frac{1}{2} a t^{2}$
Deste modo, relacionando esta equação à equação da regressão linear, sabendo que o declive da reta é a aceleração
$$y=m x+b \Leftrightarrow d=\frac{1}{2} a t^{2}$$
- Transformação do volume em segundos de cada valor da tabela:
$$\begin{aligned}& \frac{1,6 \mathrm{~cm}^{3}}{1 \mathrm{~s}}=\frac{3,20 \mathrm{~cm}^{3}}{x \mathrm{~s}} \Leftrightarrow x=2 \mathrm{~s} \\& \frac{1,6 \mathrm{~cm}^{3}}{1 \mathrm{~s}}=\frac{3,90 \mathrm{~cm}^{3}}{x \mathrm{~s}} \Leftrightarrow x=2,43 \mathrm{~s} \\& \frac{1,6 \mathrm{~cm}^{3}}{1 \mathrm{~s}}=\frac{4,55 \mathrm{~cm}^{3}}{x \mathrm{~s}} \Leftrightarrow x=2,84 \mathrm{~s} \\& \frac{1,6 \mathrm{~cm}^{3}}{1 \mathrm{~s}^{2}}=\frac{5,00 \mathrm{~cm}^{3}}{x \mathrm{~s}} \Leftrightarrow x=3,12 \mathrm{~s} \\& \frac{1,6 \mathrm{~cm}^{3}}{1 \mathrm{~s}^{2}}=\frac{5,60 \mathrm{~cm}^{3}}{x \mathrm{~s}} \Leftrightarrow x=3,5 \mathrm{~s}\end{aligned}$$
- Construção da tabela a partir da distânciae dos tempos calculados:
\begin{array}{|c|c|}
\hline \boldsymbol{d} / \mathbf{m} & \boldsymbol{t}^{\mathbf{2}} / \mathbf{s} \\
\hline 3,00 & 3,5^2 \\
\hline 2,50 & 3,12^2 \\
\hline 2,00 & 2,84^2 \\
\hline 1,50 & 2,43^2 \\
\hline 1,00 & 2,00^2 \\
\hline
\end{array}
- Determinação da equação da reta:
A partir da tabela, deve-se fazer a regressão linear com $\boldsymbol{d}$ a representar a variável dependente e $t^{2}$ a representar a variável independente, obtendo a seguinte expressão
$$y=0,2453 x+0,0353 \Leftrightarrow d=0,2453 t^{2}+0,0353$$
Deste modo, o declive é 0,2453 . Logo, como a aceleração é o declive da reta,
$$0,2453=\frac{a}{2} \Leftrightarrow a=0,49 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$$
Fonte: Lucas Campos
Para colocarem este exercício como questão individual falta a informação que a bureta vertia, aproximadamente 1,6 cm^3 de água em cada segundo...
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