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Recriando uma das famosas experiências realizadas por Galileu, estudou-se o movimento de translação de uma esfera largada sobre um plano inclinado.
Considere que a esfera pode ser representada pelo seu centro de massa (modelo da partícula material).
Admita que, em cada ensaio realizado, o módulo da velocidade da esfera aumentou proporcionalmente com o tempo decorrido e que a resultante das forças de atrito que atuaram na esfera não foi desprezável.
Na recriação da experiência de Galileu, foi utilizado um plano inclinado, de comprimento $L$, que está esquematizado na Figura 1.
Em dois dos ensaios realizados, a esfera foi largada de duas posições diferentes, $A$ e B, tendo-se medido o tempo que a esfera demorou a atingir a posição C.
Considere que $t_{A}$ e $t_{B}$ são os tempos que a esfera demora a atingir a posição $C$ quando é largada das posições $A$ e B, respetivamente.
Determine o quociente desses tempos.
Mostre como chegou ao valor solicitado.
Fonte: IAVE
Fonte: IAVE
1) Cálculo do tempo de $\mathrm{A}$ ao quadrado $\left(t_{\mathrm{A}}^{2}\right)$ :
$$x=x_{0}+v_{0} t+\frac{1}{2} a t_{\mathrm{A}}^{2} \Leftrightarrow L=0+0 t+\frac{1}{2} a t_{\mathrm{A}}^{2} \Leftrightarrow L=\frac{1}{2} a t_{\mathrm{A}}^{2} \Leftrightarrow t_{\mathrm{A}}^{2}=\frac{2 L}{a}$$
2) Cálculo do tempo de B ao quadrado $\left(t_{\mathrm{B}}^{2}\right)$ :
$$\begin{aligned}& x=x_{0}+v_{0} t+\frac{1}{2} a t_{\mathrm{B}}^{2} \Leftrightarrow L=\frac{1}{4} L+0 t+\frac{1}{2} a t_{\mathrm{B}}^{2} \Leftrightarrow L=\frac{1}{4} L+\frac{1}{2} a t_{\mathrm{B}}^{2} \Leftrightarrow L-\frac{1}{4} L=\frac{1}{2} a t_{\mathrm{B}}^{2} \\& \Leftrightarrow \frac{3 L}{4}=\frac{1}{2} a t_{\mathrm{B}}^{2} \Leftrightarrow a t_{\mathrm{B}}^{2}=2 \times \frac{3 L}{4}=\frac{3 L}{2} \Leftrightarrow t_{\mathrm{B}}^{2}=\frac{\frac{3 L}{2}}{a}=\frac{3 L}{2 a}\end{aligned}$$
3) Cálculo do quociente entre os tempos:
$$\frac{t_{\mathrm{A}}^{2}}{t_{\mathrm{B}}^{2}}=\frac{\frac{2 L}{a}}{\frac{3 L}{2 a}}=\frac{4}{3} \Leftrightarrow \frac{t_{\mathrm{A}}}{t_{\mathrm{B}}}=\sqrt{\frac{4}{3}}$$
Fonte: Lucas Campos
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