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lo, Europa, Ganimedes e Calisto são satélites de Júpiter que foram descobertos por Galileu, no início do século XVII.
Considere o movimento de translação destes satélites em torno de Júpiter e admita que as órbitas por eles descritas são aproximadamente circulares.
A massa de Júpiter pode ser determinada a partir de uma relação entre os períodos de translação, $T$, dos seus satélites e os raios, $r$, das órbitas por estes descritas, verificando-se que $T^{2}$ varia linearmente com $r^{3}$.
Na tabela seguinte, apresentam-se os valores de $r^{3}$ e de $T^{2}$ dos satélites de Júpiter descobertos por Galileu.
Determine a massa de Júpiter.
Na resposta:
- deduza a expressão de $T^{2}$ em função de $r^{3}$, a partir da segunda lei de Newton e da lei da gravitação universal;
- apresente a equação da reta de ajuste ao gráfico de $T^{2}$ em função de $r^{3}$ (despreze a ordenada na origem);
- calcule o valor solicitado.
Explicite o seu raciocínio, indicando todos os cálculos efetuados.
Fonte: IAVE
Fonte: IAVE
- Dedução da expressão solicitada
$$\begin{aligned}F_{\mathrm{g}}=G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} & \Leftrightarrow \mathrm{m}_{\mathrm{s}} \vec{a}=G \frac{m_{\mathrm{s}} m_{\mathrm{J}}}{r^{2}} \Leftrightarrow \vec{a}=G \frac{m_{\mathrm{J}}}{r^{2}} \Leftrightarrow \frac{v^{2}}{r} \times r^{2}=G m_{\mathrm{J}} \Leftrightarrow \frac{\omega^{2} \times r^{2}}{r} \times r^{2}=G m_{\mathrm{J}} \\& \Leftrightarrow \omega^{2} \times r^{3}=G m_{\mathrm{J}} \Leftrightarrow \frac{(2 \pi)^{2}}{T^{2}} \times r^{3}=G m_{\mathrm{J}} \Leftrightarrow T^{2}=\frac{4 \pi^{2}}{G m_{\mathrm{J}}} \times r^{3}\end{aligned}$$
- Equação que se adequa aos dados apresentados
$$T^{2}=3,119 \times 10^{-16} r^{3}$$
- Determinação da massa de Júpiter
$$\text { declive }=\frac{4 \pi^{2}}{G m_{\mathrm{J}}} \Leftrightarrow 3,119 \times 10^{-16}=\frac{4 \pi^{2}}{G m_{\mathrm{J}}} \Leftrightarrow m_{\mathrm{J}}=1,90 \times 10^{27} \mathrm{~kg}$$
Fonte: Lucas Campos
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