A pena e o martelo atingiram o solo ao mesmo tempo após serem largados da mesma altura, o que permite deduzir que ambos estiveram em queda livre, ou seja, uniformemente acelerados pela constante de aceleração gravítica do planeta $(g)$.
Sabendo que foram largados com velocidade inicial nula e considerando $x$ a distância do ponto de início da experiência ao solo, pode recorrer-se às equações de movimento para calcular $g$.

$$
\begin{gathered}
x=x_{0}+v_{0} t+\frac{1}{2} a t^{2} \\
a=g \\
1,6=0+0+\frac{1}{2} \times g \times 1,7^{2} \Leftrightarrow g \approx 1,11 \mathrm{~m~s}^{-2}
\end{gathered}
$$

Sabendo que o planeta tem um perímetro de $50 \mathrm{~km}$ ou $5 \times 10^{4} \mathrm{~m}$, é possível calcular o seu raio com recurso á fórmula do perímetro da circunferência:

$$
P=2 \pi r \Leftrightarrow 5 \times 10^{4}=2 \pi r\Leftrightarrow r \approx 8,0 \times 10^{3} \mathrm{~m}
$$

A massa do planeta $\left(m_{\mathrm{P}}\right)$ pode ser calculada com recurso à fórmula da força gravítica e à fórmula da 2ª Lei de Newton.
Seja $m_{\mathrm{M}}$ a massa do martelo.

$$
\begin{gathered}
F_{\mathrm{g}}=m a=m_{\mathrm{M}} g \quad \quad F_{\mathrm{g}}=G \frac{m_{\mathrm{P}} m_{\mathrm{M}}}{r^{2}} \\\\
G \frac{m_{\mathrm{P}} m_{\mathrm{M}}}{r^{2}}=m_{\mathrm{M}} g \Leftrightarrow g=G \frac{m_{\mathrm{P}}}{r^{2}} \\\\
1,11=6,67 \times 10^{-11} \times \frac{m_{\mathrm{P}}}{\left(8,0 \times 10^{3}\right)^{2}} \Leftrightarrow m_{\mathrm{P}}=\frac{1,11}{6,67 \times 10^{-11}} \times 16,0 \times 10^{6}\Leftrightarrow \\
\Leftrightarrow m_{\mathrm{P}} \approx 1,1 \times 10^{18} ~\mathrm{kg}
\end{gathered}
$$

Resposta: A massa do planeta é de $1,1 \times 10^{18} ~\mathrm{kg}$